\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(3m+6\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\) ;\(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m

Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\) 

Do \(x_1;x_2\) là độ dài 2 cạnh tam giác nên \(x_1>0;x_2>0\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+5>0\\3m+6>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-2\)

Khi đó, áp dụng định lý Pitago:

\(x_1^2+x_2^2=5^2\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-6< -2\left(loại\right)\\m=2\end{matrix}\right.\)

Đề là \(x^2-\left(m+5\right)x+3m+6=0\) đúng không nhỉ?

a. Ta có:

\(\Delta=\left(m+5\right)^2-4\left(3m+6\right)=m^2-2m+1=\left(m-1\right)^2\ge0\) ; \(\forall m\)

\(\Rightarrow\) Phương trình đã cho luôn có 2 nghiệm với mọi m

b. Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m+5\\x_1x_2=3m+6\end{matrix}\right.\)

Để \(x_1;x_2\) là độ dài 2 cạnh góc vuông thì trước hết \(x_1;x_2\) dương

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m+5>0\\3m+6>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m>-2\)

Khi đó áp dụng định lý Pitago:

\(x_1^2+x_2^2=25\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m+5\right)^2-2\left(3m+6\right)=25\)

\(\Leftrightarrow m^2+6m-12=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-3-\sqrt{21}< -2\left(loại\right)\\m=-3+\sqrt{21}\end{matrix}\right.\)

a: Khi m=3 thì (1): x^2-3x+2*3-4=0

=>x^2-3x+2=0

=>x=1 hoặc x=2

b:

Δ=(-m)^2-4(2m-4)

=m^2-8m+16=(m-4)^2

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì m-4<>0

=>m<>4

Theo đề, ta có: x1^2+x2^2=13

=>(x1+x2)^2-2x1x2=13

=>m^2-2(2m-4)=13

=>m^2-4m+8-13=0

=>m^2-4m-5=0

=>(m-5)(m+1)=0

=>m=5 hoặc m=-1

Để phương trình có 2 nghiệm:

\(\Delta\ge0\Rightarrow\left[-\left(m+2\right)\right]^2-4.1.\left(3m-3\right)\ge0\\ \Leftrightarrow m^2+4m+4-12m+12\ge0\\ \Leftrightarrow m^2-8m+16\ge0\forall m\)

Theo Vi-et ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{-\left[-\left(m+2\right)\right]}{1}=m+2\\x_1.x_2=\dfrac{3m-3}{1}=3m-3\end{matrix}\right.\)

x₁, x₂ là độ dài của một giam giác vuông có cạnh huyền bằng 5.

Theo định lý Py-ta-go ta có:

 \(x_1^2+x_2^2=5^2\Leftrightarrow x_1^2+2x_1x_2+x_2^2-2x_1x_2=25\\ \Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\\ \Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2.\left(3m-3\right)=25\\ \Leftrightarrow m^2+4m+4-6m+6-25=0\\ \Leftrightarrow m^2-2m-15=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=5\\m=-3\end{matrix}\right.\)

Vậy...

Phương trình  x 2 - m x + m 2 - 3 = 0  có hai nghiệm  x 1 ,   x 2  là độ dài các cạnh góc vuông của một tam giác vuông với cạnh huyền có độ dài bằng 2 khi và chỉ khi:

Δ = m 2 − 4 m 2 + 12 ≥ 0 S = x 1 + x 2 = m > 0 P = x 1 . x 2 > 0 x 1 2 + x 2 2 = 4 ⇔ 3 < m ≤ 4 m > 0 x 1 + x 2 2 − 2 x 1 x 2 = 4

⇔ 3 < m ≤ 2 m 2 − 2 m 2 − 3 = 4 ⇔ 3 < m ≤ 2 m 2 = 2 ⇔ m ∈ ∅

Đáp án cần chọn là: D

cho phương trình x²−(m+2)x+3m−3=0  với x là ẩn, m là tham số 

a,Với m = -1 thì pt trở thành

\(x^2-\left(-1+2\right)x+3\left(-1\right)-3=0\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+2\right)\left(x-3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=-2\\x=3\end{cases}}\)

b, Vì pt có 2 nghiệm x₁ ; x₂ là độ dài 2 cạnh góc vuông nên x₁ ; x₂ > 0 hay pt có 2 nghiệm dương 

Tức là \(\hept{\begin{cases}\Delta>0\\S>0\\P>0\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}\left(m+2\right)^2-4\left(3m-3\right)>0\\m+2>0\\3m-3>0\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2+4m+4-12m+12>0\\m>1\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m^2-8m+16>0\\m>1\end{cases}}\)

                             \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(m-4\right)^2>0\\m>1\end{cases}}\)

                            \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}m>1\\m\ne4\end{cases}}\)

Theo hệ thức Vi-ét \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=m+2\\x_1x_2=3m-3\end{cases}}\)
Vì x₁ ; x₂ là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có độ dài cạnh huyền bằng 5

\(\Rightarrow x_1^2+x_2^2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=25\)

\(\Leftrightarrow\left(m+2\right)^2-2\left(3m-3\right)=25\)

\(\Leftrightarrow m^2+4m+4-6m+6=25\)

\(\Leftrightarrow m^2-2m-15=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-5\right)\left(m+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow m=5\left(Do\text{ }\hept{\begin{cases}m>1\\m\ne4\end{cases}}\right)\)

Vậy m = 5